Векторное произведение векторов


Символом, используемым для представления этой операции, является большой диагональный крест (×), отсюда и название «перекрестное произведение». Поскольку этот продукт имеет величину и направление, он также известен как векторное произведение. Подробнее можно прочитать на сайте meanders.ru в статье про векторное произведение векторов https://meanders.ru/vektor.shtml

A  ×  B  =  AB  sin θ  

Вектор  («n hat») представляет собой единичный вектор, перпендикулярный плоскости, образованной двумя векторами. Направление  определяется правилом правой руки, которое будет обсуждаться в ближайшее время.

Кросс-продукт является распределительным…

 A  × ( B  +  C ) = ( A  ×  B ) + ( A  ×  C )

но не коммутативный …

A  ×  B  = — B  ×  A

Изменение порядка перекрестного умножения меняет направление произведения.

Поскольку два одинаковых вектора дают вырожденный параллелограмм без области, перекрестное произведение любого вектора на себя равно нулю …

A  ×  A  = 0

Применение этого следствия к единичным векторам означает, что перекрестное произведение любого единичного вектора на себя равно нулю.

î  ×  î  =  ĵ  ×  ĵ  =    ×    = (1) (1) (грех 0 °) = 0

Должно быть очевидно, что перекрестное произведение любого единичного вектора с любым другим будет иметь величину, равную единице. (Синус 90 °, в конце концов, один.) Однако направление не является интуитивно очевидным. Правилу правой рукидля перекрестного умножения относится направление двух векторов с направлением их продукта. Поскольку перекрестное умножение не является коммутативным, важен порядок операций.

  1. Держите правую руку плоско так, чтобы большой палец был перпендикулярен пальцам. Не сгибайте большой палец в любое время.
  2. Направьте пальцы в направлении первого вектора.
  3. Сориентируйте ладонь так, чтобы когда вы складывали пальцы, они указывали в направлении второго вектора.
  4. Ваш большой палец теперь указывает в направлении перекрестного произведения.

Правая система координат , которая является обычной системой координат , используемой в физике и математике, является тот , в котором любой циклический продукт из трех осей координат положительна и любая антициклическая произведение отрицательно. Представьте себе часы с тремя буквами xyz вместо обычных двенадцати цифр. Любое произведение этих трех букв, которое работает круглосуточно в том же направлении, что и последовательность xyz, является циклическим и положительным. Любой продукт, который работает в противоположном направлении, является антициклическим и отрицательным.


A
  ×  B  = ( x  î  +  y  ĵ  +  z  k̂ ) × ( x  î  +  y  ĵ  +  z  k̂ )Используя это знание, мы можем вывести формулу для перекрестного произведения любых двух векторов в прямоугольной форме. Получающийся продукт выглядит, как будто это будет ужасный беспорядок, и это так!

Произведение двух триномов имеет девять слагаемых.

A  ×  B  знак равно Х  î  × x  î  + Х  î  × y  ĵ  + Х  î  × z  k̂
 + А у  ĵ  × x  î  + А у  ĵ  × y  ĵ  + А у  ĵ  × z  k̂
 + z  k̂  × x  î  + z  k̂  × y  ĵ  + z  k̂  × z  k̂

Три из них равны нулю. Устранить их.

A  ×  B  знак равно x B y  k̂  — x B z  ĵ
 — y B x  k̂  + y B z  î
 + z B x  ĵ  — z B y  î

Группируйте термины по единичному вектору и коэффициенту.

A  ×  B  = ( y B z  —  z B y )  î  + ( z B x  —  x B z )  ĵ  + ( x B y  —  y B x )  

Есть более простой способ написать это. Для тех из вас, кто знаком с матрицами, перекрестное произведение двух векторов является определителем матрицы, первая строка которой представляет собой единичные векторы, вторая строка — первый вектор, а третья строка — второй вектор. Символично …

A  ×  B  = я Ĵ К
 х  у  z
 Б х  Б у  Б з

Расширение определителя 3 × 3 его первой строкой является первым шагом. Это дает нам три 2 × 2 детерминанта.

A  ×  B  =  у  z  î  —  х  z  ĵ  +  х  у  К
 Б у  Б з  Б х  Б з  Б х  Б у

Эти 2 × 2 детерминанты могут быть найдены быстро. Они также дают нам решение, предварительно отсортированное по единичному вектору, поэтому нет необходимости сортировать термины и факторы.

A  ×  B  = ( y B z  —  z B y )  î  + ( z B x  —  x B z )  ĵ  + ( x B y  —  y B x )  

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *